??时不常会看到这样的电阻网络问题， 虽然没有实际应用，但令人琢磨起来还是蛮有意思的。 下面是12个10k欧姆的电阻焊接成电阻立方体网络。 问题是求A-H 之间的电阻。

▲ 图1 电阻立方体网络

??当所有的电阻都相同的时候， 如果在A,H 两端施加电压， 那么D,E,C,F 这四个点都应该是A,H之间的中间电位， 所以连接在C,D 以及E,F 之间的电阻可以是省略。 电路则可以简化成下面右边的形式。

▲ 图2 电阻网络等效电路

??不难分析， 最终A-H 之间的电阻应该是单个电阻的四分之三。 如果单个电阻为10kΩ，那么A-H 之间的电阻为应该是7.5kΩ。

??实际上，这个电阻网络总共有八个顶点， 任意两者之间都存在阻抗。 如果询问那两点的阻抗最大， 估计大多数人都会承认，应该是立方体的对角线，比如A-G ， 之间的电阻最大。 那么A-G 之间的电阻有多大呢？

??Don Cross 在他的博客 Cubical Resistor Network[1] 对于这个问题进行了讨论。他假设在立方体对角线施加1V 激励电压， 通过分析格点之间的对称性和等效电阻， 最终他得到立方体对角线的电阻等于单个电阻的六分之五。

▲ 图3 电阻网络立方体等效电路

??有趣的是，他还使用了实际电阻进行了测试， 并且测量出网络中所有节点之间的电阻。

▲ 图4 实际电阻网络

??经过测量， 可以看到整个网络各节点之间的电阻总共分为三类：

• 对角线： 电阻大约为 5/6 R;
• 同面对角线：电阻大约为 3/4 R;
• 相邻： 电阻大约 3/5 R；

▲ 图5 电阻网络各点之间的实测电阻

??估计上述电阻网络等效电阻计算还是课程心算出来的， 在 Infinite 2D square grid of resistors[2] 中给出了一个询问无穷范围中的二维电阻网络中，两个对角线之间的电阻问题。

▲ 图6 无穷范围中的二维电阻网络

??求解的方法中居然还是用到外傅里叶变换 的公示， 这一点的确让我破防了。 上述无穷二维电阻网络中，对角线节点之间的电阻居然是 ！

▲ 图7 奇异的电路图

参考资料

[1]

Cubical Resistor Network: http://cosinekitty.com/resistor_cube.html

[2]

Infinite 2D square grid of resistors: https://sites.google.com/site/resistorgrid/node2