引言

卷积运算在信号处理中应用非常广泛，因此有必要掌握其基本的性质，在后续学习中将会大量用到。

这里介绍其基本的性质，某些特殊性质，留在以后遇到具体问题了再介绍。

代数性质

交换律

第一个性质是我们非常熟悉的交换律，特别是乘法运算。当然卷积运算也满足交换律，其表达式如下

证明如下

分配律

分配律也与代数运算分配律一样，卷积分配律如下

卷积分配律证明如下

结合上一篇文章线性时不变系统之零状态响应卷积求解（十一）中，实际上，卷积分配律应用到信号系统中，其物理意义可理解为线性时不变系统叠加特性的体现，即假设系统冲激响应为f1,系统对激励f2+f3的响应为激励f2和激励f3各自响应的叠加。当然也可以理解为两个系统并联，其冲激响应分别是f2和f3，在激励f1的作用下的响应叠加。

结合律

卷积结合律表达如下

卷积结合律证明如下

其中

微积分性质

卷积的代数运算性质与一般乘法的代数运算性质一样，但其微积分性质与乘法不一样。

微分特性

两个函数做卷积，然后对其求导，结果等于其中一个函数与另外一个函数导数的卷积，即

证明如下

同理可得

积分特性

两个函数做卷积，然后再积分，其结果等于其中一个函数与另外一个函数的积分的卷积，即

证明如下

同理可得

依此类推，我们不难得出卷积的微积分特性的一般表达式，即假设

则有

与冲激函数的卷积

一般函数与冲激函数的卷积为其本身，这特性在后续系统设计与分析中将经常用到，即

这一性质，在上一篇文章线性时不变系统之零状态响应卷积求解（十一）中，也用到了。这里不再过多介绍。根据冲激函数的特性，这一性质证明也非常简单。

进一步，冲激函数做一定延时后，则有

进一步，如任意函数做一定延时后，则有

上述延时，在时不变信号系统中，即为其时不变特性的体现。

根据卷积的微积分性质，我们还可以进一步推导出：

任意函数与冲激偶函数的卷积为其导数，任意函数与阶跃函数的卷积为其积分，即

总结

卷积的交换律、分配律以及结合律与一般乘法的代数特性一样；

卷积的微积分特性满足一般表达式

；

一般任意函数与冲激函数，冲激偶函数以及阶跃函数的卷积具有特别的应用价值。

以上就是今天分享的内容，希望能够给您带来收获。

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我们明天见。