上一节，我们学会了如何区分排列组合，何时用排列，何时用组合。

这一节，我们来讲讲排列与组合的运算及其基础题型。

1，排列：

排列的表示为：

表示从n个不同元素里拿出m个不同元素有顺序的排列有多少种情况。

其运算为

也就是从右下角这个数开始乘，每乘一次减一，右上角是几，就有几个数相乘。

2，全排列：

大家在刷短视频时有没有刷到过这样的短视频，一道数学题，明明做的很对，老师却给打了错，家长发出来伸冤的。

这类视频一般有三种情况：

第一种，确实是道对的题，发出来哗众取宠的；

第二种，截取题目截取的不全的；

第三种，就是涉及到了特殊的符号。

比如，2*3=6！

这个对不对？

这个不对。

难道2*3≠6吗？

2*3确实等于6，但是这有什么好惊诧的吗？

问题就出在最后这个感叹号上了。

！在数学上是一种计算符号，叫做阶乘，也叫乘到底。

也就是说，6！=6*5*4*3*2*1,1就是所谓的底。

一个数后面带！，表示从这个数开始乘，每乘一次减一，一直乘到1。

那这样一看，2*3=6！显然就不对了。

特别注意：0！用我们刚才的正常算法显然是无法运算的，所以我们特别规定：

0！=1。

3，组合：

组合的表示为：

组合实际上就是在排列的基础上把顺序去除掉，也就是我们常说的排重。

所以，组合的运算就是先算排列，然后用除法排重：

也就是说，分子是组合相对应的排列的计算，分母是右上角数的全排列。

另外，组合还有一个特殊性质，就是当两个组合右下角数相同，右上角数之和正好等于右下角数时，它们的结果是相等的。

学会了排列组合的运算，下面我们就具体看看排列组合的基础题型，共四大类：

4，涂色问题：

涂色问题都有一个共同的要求，就是相邻不能涂相同的颜色。

涂色问题第一种：一排不回头涂色。

例1：将3种农作物全部种植在如下图的五连试验田中：

要求每块试验田中只能种植一种农作物，且相邻的试验田不能种植同一种农作物，则不同的种植方法有几种？

这道例题我们可以用初中学过的树状图完成，也可以用乘法计数原理完成。

涂色问题的基本做法就是一块一块的涂。

那么我们先涂第一块，因为没有任何影响，所以它有3种不同的涂法；

接下来涂第二块，第二块要受到第一块的影响，因此第一块的颜色不能涂了，它只有2种颜色可选；

接下来涂第三块，第三块要受到第二块的影响，因此第二块的颜色不能涂了，它也有2种颜色可选；

第四块不能选第三块的颜色，有2种颜色可选；

第五块不能选第四块的颜色，有2种颜色可选。

按照这样涂下来，总共有3*2*2*2*2=48种种法。

但是别忘记，这道题还有一个特殊要求，就是3种作物必须都被种过。

在我们上面的做法中，存在只用两种作物的情况。

假设三种作物为ABC，那么我们上面存在ABABA，BABAB，ACACA，CACAC，BCBCB，CBCBC这6种情况都是只用了两种作物的情况，因此都要排除掉。

所以这道题最终的答案应当是3*2*2*2*2-6=42种。

涂色问题第二种：转圈涂色。

例2：矩形的对角线把矩形分为四个部分，现在用5种不同的颜料给4部分涂色，每部分涂1种颜色，要求相邻两部分颜色不同，则共有多少种涂法？

我们依然采用一块一块涂色的方法。

比如我们先涂上面一块，然后顺时针依次涂色。

上面一块不受任何影响，因此5种颜色任选。

再涂右边一块，要受到上面一块的影响，因此上面一块的颜色右边一块不能涂，它只能涂4种颜色。

再涂下面一块，要受到右面一块的影响，因此右面一块的颜色下面一块不能涂，它也可以涂4种颜色。

最后涂左边一块，问题出现了。

左边一块和上面一块、下面一块都相邻，要受这两块的影响。

但是，上面一块和下面一块是不互相影响的，也就是说，上面一块和下面一块可能颜色一样，也可能颜色不一样，而这两种情况直接影响到左边一块到底能涂多少种颜色。

鉴于这个原因，我们要从下面一块的涂法开启分类讨论了。

第一类，下面一块和上面一块涂的颜色是一样的。这种情况下，下面一块就没有选择权了，上面一块涂什么颜色，它就跟着涂什么颜色。而这种情况，左边一块只有一种颜色不能涂，因此有4种选择；

第二类，下面一块和上面一块涂的颜色不一样。这种情况下，下面一块只有3种颜色可以选择，左边一块也只有3种颜色可以选择了。

按照这样，这道题算是正确涂完了。

因此，本题答案为5*4*1*4+5*4*3*3=260。

我们在考试时常考的是第二种情况，也就是转圈涂色的情况。

并且我们考试时一般考的比这道例题还要复杂一点，就是每块相邻块数不一致。

例3，下图为核平后的日本地图，请用4种颜色对其涂色，要求相邻不能涂相同的颜色。

这其中，1号区域与4块相邻，而2号、3号、4号、5号区域都只和3块相邻，那么问题就是我们先涂哪一块？

先问大家一个问题，你是更喜欢影响别人还是更喜欢被别人影响呢？

我想大部分人的答案肯定是影响别人。

这道题一个道理，相邻越多，说明受到的影响越多，同时影响别人也越多。

怎样成为影响别人的人，那就是做第一个吃螃蟹的人。

所以像这种涂色问题，我们先涂相邻块数最多那一块，因为先涂的不受任何影响。

接下来怎么涂？

不是按照相邻多少排序一块块涂，相邻多少只确定我们第一块涂哪一块，剩下的还是按照一定顺序一圈涂下来，当遇到会对之后的某一块涂色产生不同影响的块时，就从这块开启分类讨论。

比如这道题，我们1号区域有4种不同的涂法，然后我们按照逆时针打圈。

2号区域现在只受1号区域的影响，因此可以涂3种颜色；

3号区域要受1号区域和2号区域的影响，因此可以涂2种颜色；

4号区域要受1号区域和3号区域的影响，因此可以涂2种颜色；

最后的5号区域，要受1号区域、2号区域和4号区域的影响，这其中2号区域和4号区域有可能颜色一样，也有可能颜色不一样，会直接影响到5号区域的涂色，因此从4号区域进行分类讨论。

当4号区域涂色与2号区域一致时，5号区域可以涂2种颜色；

当4号区域涂色与2号区域不一致时，5号区域只能涂1种颜色。

因此，本题答案为：4*3*2*1*2+4*3*2*1*1=72种。

以上就是涂色问题的基本做法。

这一节我们讲解了排列组合的计算以及排列组合基本题型的第一种涂色问题的做法。

下一节我们讲解排列组合另外三种基本题型的做法。

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