谈谈2023届雅礼十六校第一次联考第17题的背景以及相关题目

2023届雅礼十六校高三第一次联考第17题是一道背景丰富的题目，应该也是一道陈题(网上能搜到)，题目如下：

这道题目第一问还好，就是三角基本公式，第二问涉及到了一些大学数学的知识，后边笔者会一一分析，先看给出的标准答案：

很多人可能会对这个第二问的答案有一些疑惑：第一步因式分解是怎么分出来的，其实这个直接的方法就是使用二阶行列式来分解，基本原理如下：

具体到这道题目，可以采取如下分解步骤：

这题涉及到第二个大学数学的知识点是切比雪夫多项式，这个和倍角正余弦相关。关于切比雪夫多项式网上有不少的介绍，这里摘录笔者看到的1950年代翻译的有关这方面的材料(那会把切比雪夫翻译成切彼晓夫)：

可以看到，这里的(55)式就是前面题目的第一问，而且分解因式之后第二个括号中的系数8和6恰好是三次切比雪夫多项式系数乘以2，这也是为什么后边使用三角换元来解方程。

这个题还涉及了代数基本定理，这个在人教版A版第二册第81页的阅读材料中有所提及，这也是为什么最后要有5个根的缘故：

之前全国高考试卷中也出现过涉及切比雪夫多项式的题目，比如2010年江苏附加题和和2012年福建文科考题第16题，但难度要低很多。下面笔者再分享两道从网上看到这方面的题目，供研究参考：