TOPSIS方法

TOPSIS法（Technique for Order Preference by Similarity to Ideal Solution），可翻译为逼近理解排序法，国内简称为优劣解距离法。

TOPSIS法是一种常用的综合评价方法，其能充分利用原始数据的信息，其结果能够精确的反映各评价方案之间的差距。

一、层次分析法回顾

层次分析法的局限：

• 评价体系的方案层（决策层）不能够太多，太多的话n会很大，判断矩阵和一致矩阵的差异可能会很大
• 并且RI的表格最多也只能有15个
• 判断矩阵实际上是我们自己填入的，但是假设指标的数据是已知的，我们应该如何利用这些已知数据让评价结果更加准确呢？比如说有以下待评价表格：

二、例题引出

假设要对宿舍的四个人进行一个排名，排名能够很好地反映成绩的高低

此时我们对各位同学进行评分：

因为进行打分的时候直接按照排名来进行打分，那么成绩高的人评分反而越低，所以我们需要对排名进行修正，休正之后即可进行正确的评分。

但是这样还有一个问题，就是对于最高分和最低分，我们修改他们的修改之后，他的评分可能不发生变化，显然这是不客观的，比如，小红的成绩修改为90，小张的成绩修改为10之后，他们的评分不会发生变化，但是他们的分数却发生了很大的变化，这不利于描述他们的实际关系。

此时又产生了一个比较好的想法：

我们使用如下方式来构造一个评分方式：

使用上述评分准则来重新对宿舍四人的成绩进行打分

可以发现此时还是和刚刚一样，变化最后一名和第一名的成绩，他们的评分依然不会改变。因为他们本身就是最高分和最低分，只要保证他们是最高分和最低分去变化他们的成绩，他们的评分就一直是1和0。

但是值得注意的是，卷面的最高分和最低分应该是100和0，此时再来做评分以及归一化，可得到

这个表格可以很好的做关联性，并且分数的变化会引起评分的变化，但在实际的使用中并不会使用这个评分标准，

• 首先，实际上大多数时候并不存在理论的上限和下限，如经济增长水平的指标：GDP增速
• 其次，评价的指标要远大于两个，而不是像例题中的成绩一项
• 最后，要评价的对象也远大于两个

所以，最常用的还是用已知数据的最大值和最小值来进行评价，即

三、问题拓展

新增加一个指标，从智商和情商两个方面来考察，成绩代表智商，与他人的争吵次数代表情商，现在来对下面的已知数据进行评价：

成绩当然那时越高（大）越好，这样的指标称为极大型指标（效益性指标）；与他人的争吵次数当然是越少（小）越好，这样的指标称为极小型指标（成本型指标）。

此时，两种指标不可能都使用上面的评价标准，

3.1指标正向化

所以，需要统一指标类型：将所有的指标转化为极大型指标称为指标正向化（最常用）

极小型指标转化为极大型指标的方法：max-x

3.2 标准化处理

就是说两个指标现在都是极大型指标了，我们能不能直接加和来进行评分呢？

显然是不能的，因为这两个指标的量纲不同，成绩为（分），争吵次数为（次）

对正向化矩阵进行标准化处理：消去不同量纲对不同指标的影响

标准化处理的计算公式：

假设有n个要评价的对象，m个评价指标(已经进行了指标正向化)构成的正向化矩阵如下：

那么，对其标准化的矩阵记为Z，Z中的每一个元素：，对X中的列元素平方求和开根号

经过标准化就变成了

代码为:

 X = [89 1;60 3; 74 2; 99 0];
 [n, m] = size(X)
 standard_Z = X./repmat(sum(X.*X).^0.5,n,1)

3.3计算得分

此时我们得到了标准化之后的矩阵：

只有一个指标的时候，评价公式为：

对其变形得到

可看作是

类比于只有一个指标来计算得分：

假设有n个要评价的对昂，m个评价指标的标准化矩阵：

定义最大值和最小值

就是对每列求出最大值和最小值

定义第i(i=1,2,...,n)个评价对象与最大值的距离为

定义第i(i=1,2,...,n)个评价对象与最小值的距离为

那么，我们可以计算出第i(i=1,2,...,n)个评价对象为归一化的得分：

很明显，即越大越小，即越接近最大值。

解例题

对于刚刚的题目，我们可以做出如下解答，首先我们得到标准化之后的矩阵：

所以：

最大值Z+ = [0.6048, 0.8018]，最小值Z- = [0.3665, 0]

对于小张、小王和小红依次计算即可

代码如下：

 X = [89 1; 60 3; 74 2; 99 0];
 [n, m] = size(A);
 Z = X ./ repmat(sum(X.*X).*0.5, n, 1);
 D_P = sum([(Z - repmat(max(Z),n,1).^2], 2) .^0.5  %D+向量
 D_N = sum([(Z - repmat(max(Z),n,1).^2], 2) .^0.5  %D-向量

算出每位同学的D+,D-,我们就可以利用公式计算未归一化之后的得分：

我们发现原本第一名的小红变成了第四名，why？不要慌，因为TOPSIS就是优劣解距离，优解就是最大值嘛，劣解就是最小值嘛。

四、TOPSIS介绍

C.L.Hwang和K.Yoon于1981年首次提出TOPSIS (Technique for Order Preference by Similarity to an Ideal Solution)，可翻译为逼近理想解排序法，国内常简称为优劣解距离法。 TOPSIS法是一种常用的综合评价方法，能充分利用原始数据的信息，其结果能精确地反映各评价方案之间的差距。 基本过程为先将原始数据矩阵统-指标类型(一 般正向化处理)得到正向化的矩阵，再对正向化的矩阵进行标准化处理以消除各指标量纲的影响，并找到有限方案中的最优方案和最劣方案，然后分别计算各评价对象与最优方案和最劣方案间的距离，获得各评价对象与最优方案的相对接近程度，以此作为评价优劣的依据。该方法对数据分布及样本含量没有严格限制，数据计算简单易行。

第一步：将原始矩阵正向化

常见的四种指标：

所谓的将原始矩阵正向化，就是要将所有的指标类型统一为极大型指标。（转换的函数形式不唯一）

极小 -> 极大

转换函数：max-x或者1/x(所有元素为正数时)

中间 -> 极大

中间型指标：不要太大也不要太小，取某个特定值最好（如PH值）

是一组中间型指标序列，且最佳的数值为，那么真相画的公式如下：

例如，有一组中间型指标，，所以M = 2

区间 -> 极大

区间型指标：直播落在某个区间最好，比如人体温度在36-37这个区间比较好。

\{x_i\}是一组中间型指标，且最佳的区间为[a,b]，那么正向化的公式如下：

例如，有一组区间型指标，a = 36, b= 37 ,求得M = 1.4

第二步 正向化矩阵标准化

假设有n个要评价的对象，m个评价指标(已经进行了指标正向化)构成的正向化矩阵如下：

那么，对其标准化的矩阵记为Z，Z中的每一个元素：，对X中的列元素平方求和开根号

第三步 计算得分并归一化

假设有n个要评价的对昂，m个评价指标的标准化矩阵：

定义最大值和最小值

就是对每列求出最大值和最小值

定义第i(i=1,2,...,n)个评价对象与最大值的距离为

定义第i(i=1,2,...,n)个评价对象与最小值的距离为

那么，我们可以计算出第i(i=1,2,...,n)个评价对象为归一化的得分：

很明显，即越大越小，即越接近最大值。

五、模型拓展

我们之前默认各个指标权重相同，但是实际中，m个指标可能会有不同的权重。

只需要将上述第三部中的D+、D-做出变化，乘一个即可

定义第i(i=1,2,...,n)个评价对象与最大值的距离为

定义第i(i=1,2,...,n)个评价对象与最小值的距离为

5.1 带权重的TOPSIS

这个权重我们可以使用上一节的层次分析法来确定各个指标的权重，此时，TOPSIS就变为带权重的TOPSIS

此时确定的各个权重