高中数学排列与组合，计算双色球各奖级的中奖概率

一，5个人竞争3个不同的领导岗位，一共有多少种结果？

这问题有关高中数学知识，按照分步乘法计算原理，先完成第1步，安排第1个领导岗位，有5个人选；第2步，安排第2个领导岗位，这第2个领导岗位从还没安排的4个人中选择，有4个人选；第3步，安排第3个领导岗位，从剩余的3个人中选择，有3个人选。

所以，总的结果有5×4×3=60种，记作A(5,3)=60。

一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。

如上面5个人记作a、b、c、d、e，3个领导岗位安排成abc是一个排列，安排成acb也是一个排列，安排成abe也是一个排列。abc、acb、abe属于不同的排列。

从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素取出m个元素的排列数，用符号A(n,m)表示。

排列数公式A(n,m)=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)。

A(4,3)=4×3×2，A(6,4)=6×5×4×3，A(3,3)=3×2×1=6，A(5,5)=5×4×3×2×1。

n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列。

这时，A(n,n)=n!=n×(n-1)×(n-2)×...×3×2×1。

正整数1到n的连乘积，叫做n的阶乘，用n!表示。

0!=1，3!=3×2×1=6，5!=5×4×3×2×1=120。

A(n,m)=n!/(n-m)!

二，从5个人里面选3个人组成一队，共有多少种组法？

甲乙丙丁戊，5个人选3个人组成一队，如甲乙丙、甲乙丁、丙丁戊，可一一列举，共有10种组法。

从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号C(n,m)表示。C(5,3)=10，C(16,1)=16，C(n,0)=1。

5个人竞争3个不同的领导岗位共有多少种结果？我们可以第一步，5个人竞争，3个人入选，相当于从5个人中选出3个人，C(5,3)，共有10种结果；第2步，选出来的3个人安排在3个不同的领导岗位，A(3,3)，有6种安排。A(5,3)=C(5,3)×A(3,3)=10×6=60。

参照此模式，可总结，A(n,m)=C(n,m)×A(n,n)。

所以，C(n,m)=A(n,m)/A(n,n)=n!/m!(n-m)!。

组合数的两个重要性质。

1，C(n,m)=C(n,n-m)，好比C(5,2)=C(5,3),相当于从5个不同元素里选出2个组成一组，剩余的3个元素也就同样的组成了一组。

2，C(n+1,m)=C(n,m)+C(n,m-1),好比C(10,3)=C(9,3)+C(9,2)，即从10个不同元素里选出3个组成一组。假设，10个里面有个元素最特别，称为1号元素。第一种情况，我们不选1号元素，就得从另外9个元素里选出3个组成一组，记作C(9,3);第二种情况，我们选了1号元素，就只需要从另外9个元素里再选出2个元素，记作C(9,2)。

排列、组合的区别。排列，涉及排序问题；组合，无关排序。

三，利用组合知识计算双色球各奖级的中奖概率。

双色球投注区分为红色球号码区和蓝色球号码区，红色球号码区由1-33共三十三个号码组成，蓝色球号码区由1-16共十六个号码组成。投注时选择6个红色球号码和1个蓝色球号码组成一注进行单式投注。

第一步，红色球区，从33个号码里选择6个号码，组合数C(33,6)=1107568；第二步，蓝色球区，从16个号码里选择1个号码，组合数C(16,1)=16。所以，双色球投注，不同的号码投注方式共有C(33,6)×C(16,1)=1107568×16=17721088种。

33个红色球号码里有6个号码为当期开奖号码，另外27个为非开奖号码；16个蓝色球号码里有1个号码为当期开奖号码，另外15个为非开奖号码。

1，一等奖，投注号码与当期开奖号码全部相同（顺序不限，下同），即6+1，组合数为C(6,6)×C(1,1)=1，中奖概率P1=1/17721088。

2，二等奖，投注号码与当期开奖号码中的6个红色球号码相同，蓝色球是从15个非开奖号码里面选择1个，即6+0，组合数为C(6,6)×C(15,1)=15,中奖概率P2=15/17721088=1/1181406。

3，三等奖，投注号码与当期开奖号码中的任意5个红色球号码和1个蓝色球号码相同，即5+1，组合数为C(6,5)×C(27,1)×C(1,1)=162，中奖概率P3=162/17721088=1/109389。

4，四等奖，投注号码与当期开奖号码中的任意5个红色球号码相同，或与任意4个红色球号码和1个蓝色球号码相同，即5+0或4+1,组合数为C(6,5)×C(27,1)×C(15,1)+C(6,4)×C(27,2)×C(1,1)=7695，中奖概率P4=7695/17721088=1/2303=0.00043。

5，五等奖，投注号码与当期开奖号码中的任意4个红色球号码相同，或与任意3个红色球号码和1个蓝色球号码相同，即4+0或3+1，组合数为C(6,4)×C(27,2)×C(15,1)+C(6,3)×C(27,3)×C(1,1)=137475，中奖概率P5=137475/17721088=1/129=0.00776。

6，六等奖，投注号码与当期开奖号码中的1个蓝色球号码相同，即2+1或1+1或0+1，组合数为C(6,2)×C(27,4)×C(1,1)+C(6,1)×C(27,5)×C(1,1)+C(6,0)×C(27,6)×C(1,1)=1043640，中奖概率P6=1043640/17721088=1/16.98=0.05889。

7，不中奖的情形有0+0、1+0、2+0或3+0，计算不中奖概率P7=0.93290。

8，复式购买，如从红色球号码中选择8个号码，从蓝色球号码中选择3个号码，全复式购买，共多少注号码？C(8,6)×C(3,1)=84，共84注号码。

概率计算，仅供参考。理性购彩。