如何利用三个顶点的坐标求三角形的面积

如何利用三个顶点的坐标求三角形的面积

如果我们只知道三角形顶点的坐标，怎么求三角形的面积呢?如果已知三角形的顶点，就可以用距离公式求出所有边的长度，从而可以用海伦公式求出三角形的面积（见三角形面积海伦公式的证明）。但是，这会变得太冗长和乏味。

假设我们有一个如图所示的三角形，我们想求出它的面积。

设顶点坐标为 (x1, y1), (x2, y2) 和 (x3, y3).

我们画BD， AE，CF垂直ｘ轴。

上述A的计算结果就是三角形的面积，由于(x1, y1), (x2, y2) 和 (x3, y3)的取点的先后顺序有关，计算的结果可能是负值，所以有可能要取绝对值。另外三角形在哪个象限不影响结果，因而有下列公式：

这个公式仍然不是很好记忆，如果学了三阶行列式，可以简化为：

三阶行列式的计算是按下图，左侧红线所画是主对角线的三个乘积取正号，右侧绿线所画是副对角线的三个乘积取负号。

这样计算的结果就和下列面积公式完全吻合。但D也有可能是负值。

因此利用行列式记忆这个公式比较容易。

即三角形面积：

例如:求顶点为(1,1)，　(2,3)，　(4,5)的三角形的面积：

我们有 (x1, y1) = (1, 1), (x2, y2) = (2, 3) 和(x3, y3) = (4, 2)

使用公式:

取绝对值即为A＝５／２