卷积运算及其在图像处理上的应用

卷积，又称褶积，是数学中比较重要的运算之一，不同于加减乘除等基本运算，卷积运算一般要在学习过高等数学后才会有所接触，同时由于涉及到积分、级数等数学概念，所以看起来会稍微繁琐复杂一些。

课本中对于卷积运算的意义往往语焉不详，对于非数学专业的同学来说理解起来有些吃力，通常定义（f*g）（n）为f和g的卷积，其连续的定义为：

其离散的定义为：

如果你有一定的数学功底，观察上面两个式子你会知道，所谓卷积就是先对g函数进行翻转（一维）或者旋转（二维），相当于在数轴（一维）上把g函数从右边褶到左边去，这也就是褶积的“褶”的由来（小编认为“褶”比“卷”更准确）。

然后再把g函数平移n，在这个位置f，g两个函数的对应点相乘，然后相加，这个过程是卷积的“积”的过程。

（褶）

（卷）

然而只看数学公式和符号，卷积依然是抽象的，我们继续像幼儿园通过分糖果理解加减法那样，进一步探索卷积在现实中的意义，来习惯卷积这种运算。

扔骰子就是离散卷积的例子之一，现在有两枚骰子，我要同时扔出去并且使得点数之和等于4，求其概率，共有以下三种情况：

将其概率写成卷积运算公式的形式就是：

卖豆腐则可以看作是一个连续卷积的案例，豆腐坊的机器不断生产豆腐，生产速度是f（t）,那么一天后生产出来的豆腐总量为：

豆腐生产出来后如果没能及时卖掉就要变酸变坏，假设腐败函数为g（t），第一个小时生产出来的豆腐，一天后会经历24小时的腐败，第二个小时生产出来的豆腐，一天后会经历23小时的腐败，以此类推，一天内生产出来的豆腐在这一天内的腐败情况用连续卷积运算公式可以表示如下：

卷积运算在图像平滑处理方面同样得到了很好的运用，比如下面这幅图片，原图和灰度化后的图片中可以看到一些斑点（黑点），即为噪声。

噪声的亮度是异常的，好比平原上耸立的山峰，看起来突兀，平滑这座山峰的办法之一就是，把山峰刨掉一些土，填到山峰周围去，对于图像噪声而言，就是将周围像素的亮度融合进来中和一下。

具体到平滑噪声的计算原理上，则可以用卷积运算实现这个平滑算法，将有噪点的原图转换为一个矩阵：

然后用一个g矩阵表示处理图像的g函数，实际进行滤波处理时用的g矩阵大多为正态分布矩阵，以便尽可能保留原像素的特征：

比如我要平滑auv点，就在矩阵中，取出auv点以及周围的8个点组成矩阵f，和g进行卷积计算后，再填回去：

计算过程：

首先我们在原始图像矩阵中取出（u,v）处的矩阵：

然后将图像处理矩阵翻转（延x轴和y轴两个方向翻转），如下：

计算卷积时，就可以用f和g'的内积：

值得注意的是，做乘法的两个对应变量a,b的下标之和都是（u,v），其目的是对这种加权求和进行一种约束。这也是为什么要将矩阵g进行翻转的原因。