卷积的含义以及几个重要的性质

卷积！这个概念曾经困扰了我好长时间，一直似懂非懂。知道学习了信号与系统这门课程以后才有了比较准确的认识。卷积是一种积分运算，在信号处理领域其物理意义是输入信号经过线性时不变系统的处理以后得到的输出。如果一个系统是线性时不变系统的0时刻的冲击响应，那么我们就可以用这个响应与输入做卷积得到系统的输出。就这么简单！如果光看数学公式，什么反褶、滑动，搞了半天不知道什么用，还有人用什么棒子在头上打包来做比喻，越整越懵！个人觉得数学这个东西其实是非常有意思的，它源于生活而高于生活，但是我们学习的时候往往老师不会讲应用背景就理论而理论，抽象的公式推来推去把人整懵了。

卷积有三个重要的性质一定要知道：

交换律：x*h = h*x，它满足交换律，就是说如果把x看成输入、h做为系统响应的结果，与把h作为输入、x作为系统响应他们的输出是一样的；

结合律：x*h1*h2 = x*(h1*h2)=x*h2*h1，结合律的意思是说如果两个系统如果都满足线性、时不变，输入x经过h1系统和h2系统的处理结果，和把h1*h2当作一个系统处理的结果相同，而且信号先经过哪个系统最后效果都相同。如果一个大系统有无数个小线性系统组成，我们可以把他们作为一个分析整体。

分配律：x*(h1+h2) = x*h1+x*h2，分配律的意思是说，如果两个系统是并行连的，那么最后的结果可以成为输入分别与两个系统作用的结果再相加，相当于可以把一个大线性系统分解为若干个小的系统然后分别求输出以后再叠加。

从上面三个定理看，卷积并不是特别难理解的概念一样，它与乘法非常相似只不过计算的时候用到了积分求和。卷积在信号处理里面是非常重要的数学工具，一定要搞懂。