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一. 神经网络概述

神经网络是模拟生物神经系统工作方式的数学模型，通过多层非线性变换实现复杂模式识别。其核心价值在于：

• 自动特征提取：无需人工设计特征（如传统机器学习的SIFT/HOG）
• 端到端学习：从原始输入直接映射到输出（如图像→分类标签）
• 通用近似定理：单隐层网络即可逼近任意连续函数

二. 语义鸿沟：为什么让机器产生智能这么难？

2.1 核心挑战

• 符号落地问题：人类语言"猫"对应的是抽象概念，而机器只能处理像素矩阵
• 数据稀疏性：现实世界场景无限，训练数据有限（如自动驾驶的corner case）
• 因果推理瓶颈：神经网络是相关性学习，而非因果性建模

案例对比：

三. 图像向量化：从像素到数学表示

3.1 MNIST手写数字处理

将28×28灰度图像展平为784维向量：

import torch  
from torchvision import datasets  
# 加载MNIST数据集  
train_data = datasets.MNIST(  
    root='data',   
    train=True,  
    download=True,  
    transform=transforms.Compose([transforms.ToTensor()])  
# 查看数据维度  
image, label = train_data[0]  
print(image.view(-1).shape)  # 输出: torch.Size([784])

四. 神经元：神经网络的基本单元

4.1 数学建模

人工神经元计算流程：

其中：

• xixi: 输入信号
• wiwi: 连接权重
• bb: 偏置项
• σσ: 激活函数（如ReLU、Sigmoid）

代码示例：实现一个神经元

class Neuron:  
    def __init__(self, input_dim):  
        self.weights = torch.randn(input_dim)  
        self.bias = torch.randn(1)  
    def forward(self, x):  
        z = torch.dot(x, self.weights) + self.bias  
        a = torch.sigmoid(z)  
        return a  
# 使用示例  
neuron = Neuron(784)  
output = neuron.forward(torch.rand(784))

五. 神经网络的结构设计

5.1 典型架构

输入层(784) → 隐层(256) → 输出层(10)

参数计算：

代码示例：PyTorch实现全连接网络

import torch.nn as nn  
class MLP(nn.Module):  
    def __init__(self):  
        super().__init__()  
        self.fc1 = nn.Linear(784, 256)  
        self.fc2 = nn.Linear(256, 10)  
        self.relu = nn.ReLU()  
    def forward(self, x):  
        x = x.view(-1, 784)  # 展平  
        x = self.relu(self.fc1(x))  
        x = self.fc2(x)  
        return x  
model = MLP()  
print(model)

六. 输入层与输出层

6.1 输入层设计原则

• 归一化：将像素值[0,255]缩放至[0,1]
• 批处理：利用GPU并行计算（如batch_size=64）

代码示例：数据预处理

transform = transforms.Compose([  
    transforms.ToTensor(),  
    transforms.Normalize((0.1307,), (0.3081,))  # MNIST均值标准差  
])

6.2 输出层设计

• 分类任务：使用Softmax激活函数
• 损失函数：交叉熵损失（CrossEntropyLoss）

七. 隐层：深度学习的核心

7.1 隐层作用

• 特征抽象：逐层提取高阶特征（边缘→纹理→部件→对象）
• 非线性建模：通过激活函数打破线性局限

可视化案例：

• 第一隐层：学习边缘检测器
• 第二隐层：组合边缘形成纹理模式
• 第三隐层：构建物体部件

八. 权重矩阵：神经网络的记忆载体

8.1 数学表示

对于输入层到隐层的连接：

每个元素wij(1)wij(1)表示输入神经元ii到隐层神经元jj的连接权重。

8.2 初始化策略

• Xavier初始化：保持各层方差一致
• nn.init.xavier_uniform_(self.fc1.weight)
• 8.3 参数更新
• 通过反向传播计算梯度：

• 其中ηη为学习率。

附：完整代码实现MNIST分类

# 数据加载  
train_loader = torch.utils.data.DataLoader(  
    datasets.MNIST('data', train=True, download=True, transform=transform),  
    batch_size=64, shuffle=True)  
# 训练循环  
criterion = nn.CrossEntropyLoss()  
optimizer = torch.optim.Adam(model.parameters(), lr=0.001)  
for epoch in range(10):  
    for data, target in train_loader:  
        optimizer.zero_grad()  
        output = model(data)  
        loss = criterion(output, target)  
        loss.backward()  
        optimizer.step()  
    print(f'Epoch {epoch+1} Loss: {loss.item():.4f}')

注：本文代码基于PyTorch 2.0实现，完整运行需安装：

pip install torch torchvision matplotlib

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