今天我们继续来聊聊争议颇大的概率问题。
首先我们来看一个非常经典的性别概率问题。
问题：一个家庭里有两个孩子，其中一个是男孩，假设每个孩子是男孩女孩的概率一样，那么另一个孩子也是男孩的概率是多少？
对于这个概率问题的结论，一直以来都充满争议。常见误区有两个：
误区一：既然每个孩子是男孩女孩的概率都一样，那么另一个孩子是男孩女孩的概率也一样。所以，另一个孩子是男孩的概率为1/2。
P(男)=P(女)=1/2
这种思想的错误之处在于，忽略了其中一个孩子是男孩的前提条件，而是直接去考虑另一个孩子是男孩的概率。
也就是说，这个问题并不是一个普通的古典概率问题，而是一个条件概率问题。
条件概率：事件A在另外一个事件B已经发生条件下的发生概率。
条件概率表示为：P(A|B)，读作“在B条件下A的概率”。
P(A|B)=P(AB)/P(B)
正确做法是：
条件B：两个孩子其中一个是男孩
考虑其对立事件：两个孩子都不是男孩，或者说两个孩子都是女孩。
P(B)=1-(1/2)×(1/2)=1-1/4=3/4
事件A：另一个也是男孩
事件A、B同时发生：两个孩子都是男孩
P(AB)=(1/2)×(1/2)=1/4
P(A|B)=P(AB)/P(B)
=(1/4)/(3/4)=1/3
P(A|B)=1/3
误区二：两个孩子的性别一共有3种情况：
(男，男)、(女，女)、(男，女)
其中一个是男孩共有2种情况：
(男，男)、(男，女)
另一个也是男孩只有1种情况：
(男，男)
另一个也是男孩的概率为P=1/2
这种思想的错误是忽略了古典概率的每个样本必须是等可能的。
在对两个孩子的性别分类时，(男，男)、(女，女)、(男，女)这3种情况的概率其实并不相同，(男，男)和(女，女)的概率均为1/4，而(男，女)的概率为1/2。
所以，一开始的分类就是错误的。
正确的分类应该是这样的：
两个孩子的性别共有4种情况：
(男，男)、(女，女)、(男，女)、(女，男)
其中一个是男孩共有3种情况：
(男，男)、(男，女)、(女，男)
另一个也是男孩只有1种情况：
(男，男)
P(A|B)=1/3
讲清楚这道性别概率问题后，接下来进入今天的主题——三门问题。
在三扇门后面，藏着一只羊。主持人让你任选一扇门，如果选对了藏着羊的门，就可以领走这只羊。你选好门后，主持人看了一下剩余两扇门后面，推开了一扇空门，接下来问你是否愿意交换你选择的门和最后剩下的一扇门。请问你是否应该交换？
是否应该交换，关键是看交换以后，门后有羊的概率是否提升？如果交换以后概率提升，那么当然应该选择交换。
很多朋友是这样思考的，主持人推开了一扇空门，剩下两扇门中有羊的概率应该是相等的，各占1/2。既然概率相等，那么换与不换没有任何区别。既然如此，我不如相信我的第一直觉，也就没必要换。
实际上，这种思维方式是错误的。交换以后，门后有羊的概率不仅会提升，而且是不交换概率的两倍。
这听上去确实有些不可思议，我们接下来进行详细分析。
假如我们一开始选择了1号门，羊的位置分成3种情况。
①羊在1号门：此时2号门和3号门都是空门，主持人无论推开哪扇门都是空门，剩下的一扇门也是空门。这种情况就应该选择不换。
②羊在2号门：此时主持人观察以后发现，只有3号门是空门，所以他只能推开3号门，而剩下的2号门内有羊。这种情况应该选择换。
③羊在3号门：此时主持人观察以后发现，只有2号门是空门，所以他只能推开2号门，而剩下的3号门内有羊。这种情况应该选择换。
也就是说，3种情况中有2种情况应该选择交换，而只有1种情况应该选择不换。
所以，不换有羊的概率是1/3，而交换后有羊的概率是2/3，是不换概率的两倍。
最终结论：应该选择交换。
为什么会出现这种有些反直觉的结论呢？
其根本原因在于，主持人不是随机推开剩余两扇门中的一扇，而是观察了这两扇门门后的情况以后选择推开了一扇空门。这两者是有本质区别的。
如果主持人是在不知情下随机推开了一扇空门，那么剩余两扇门中有羊的概率就是相等的，各占1/2。
我们可以这样来理解这个问题，一开始你随机选择一扇门，这扇门后有羊的概率当然就是1/3，而另外两扇门后有羊的概率是2/3。
此时，这扇门是一个独立的系统，而另外两扇门是另一个独立系统。主持人在观察另外两扇门后的情况时，是将另外两扇门视为一个整体系统来进行考察的。
无论主持人选择推开哪扇门，对你所选的这扇门的概率都不会产生任何影响，你选的这扇门的概率始终都是1/3不变。
当主持人选择推开一扇空门后，这扇门的概率就从原来的1/3降为0，而另外两扇门的整体概率是2/3不变，那么推开这扇门的原有概率1/3就转移到剩下那扇门上去了。
所以剩下那扇门的概率就上升为1/3+1/3=2/3。
这个过程称为转移概率。
如果主持人不是观察了门后的情况，而是直接随机推开一扇门，那么这三扇门就作为一个整体，整体概率为1。
假如主持人随机推开了一扇空门，那么这扇门的概率就从原来的1/3降为0，而这消失的1/3概率就会平分到其余两扇门上去，每扇门的概率都增加1/3÷2=1/6。
此时，其余两扇门的概率都是1/3+1/6=1/2。
总结一下：主持人是否提前观测了门后的情况，将直接影响剩余门的概率。
如果主持人观测了某一个系统的情况，则空门消失的概率将在这个系统中进行平分；
如果主持人没有进行观测，那么空门消失的概率将在整个系统中进行平分。
是否观测会直接影响其他门的概率！这真是细思极恐啊！
这是否就像双缝干涉实验一样，一旦观测以后光子就会呈现不同的波动性与粒子性；又或者如量子纠缠一般，存在上帝之手；再或者如薛定谔的猫一般，同时存在生与死的两种状态？
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