唯一一个已知三边，即可求出三角形面积的公式——海伦公式!

今天我们来介绍一个非常重要的求三角形面积的公式——海伦公式。

三角形的面积=底×高÷2，但是如果不知道高为多少，就无法用此公式求出三角形的面积。

S△ABC=(底×高)/2

另外，根据正弦定理：

a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R

R为△ABC外接圆的半径

假设b为底边，对应的高为h。

sinC=h/a，h=asinC

S△ABC=bh/2=absinC/2

同理可得：S△ABC

=absinC/2=acsinB/2=bcsinA/2

这就是正弦定理求三角形面积公式，但如果不知道角的正弦值也无法用此公式来求三角形面积。

进一步，根据c/sinC=2R

sinC=c/2R

S△ABC=absinC/2=abc/4R

如果我们只知道三角形的三边长，能否求出这个三角形的面积呢？

如下图所示：

已知：a、b、c

求：S△ABC

解：x=a-y

h^2=b^2-y^2

h^2=c^2-x^2

x+y=a

h^2=b^2-y^2=c^2-x^2

x^2-y^2=c^2-b^2

(x+y)(x-y)=a(x-y)=c^2-b^2

x+y=a

x-y=(c^2-b^2)/a

x=[a+(c^2-b^2)/a]/2

=(a^2+c^2-b^2)/2a

y=[a-(c^2-b^2)/a]/2

=(a^2-c^2+b^2)/2a

x=(a^2+c^2-b^2)/2a

y=(a^2-c^2+b^2)/2a

h^2=b^2-y^2

=b^2-[(a^2-c^2+b^2)/2a]^2=

[4a^2b^2-(a^2-c^2+b^2)^2]/4a^2

S△ABC=ah/2

(S△ABC)^2=(ah/2)^2=a^2h^2/4

=[4a^2b^2-(a^2-c^2+b^2)^2]/16

=[(2ab)^2-(a^2-c^2+b^2)^2]/16

=(2ab+a^2-c^2+b^2)(2ab-a^2+c^2-b^2)/16

=[(a+b)^2-c^2][c^2-(a-b)^2]/16=

(a+b+c)(a+b-c)(c+a-b)(c-a+b)/16

(S△ABC)^2=

(a+b+c)(a+b-c)(c+a-b)(c-a+b)/16

令p=(a+b+c)/2

p-a=(a+b+c)/2-a=(b+c-a)/2

p-b=(a+b+c)/2-b=(a+c-b)/2

p-c=(a+b+c)/2-c=(a+b-c)/2

(S△ABC)^2=

(a+b+c)(a+b-c)(c+a-b)(c-a+b)/16

=[(a+b+c)/2][(b+c-a)/2][(a+c-b)/2][(a+b-c)/2]

=p(p-a)(p-b)(p-c)

海伦公式：p=(a+b+c)/2

S△ABC=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]

最后再举一个例子。

已知：

△ABC的三边长分别为4,13,15

求：S△ABC

解：p=(a+b+c)/2

=(4+13+15)/2=32/2=16

S△ABC

=√[16×(16-4)×(16-13)×(16-15)]

=√(16×12×3×1)=√576=24

S△ABC=24

方法二：如图所示作辅助线

解方程可得高为12

S△ABC=(4×12)/2=48/2=24

对比可以发现，如果只知道三角形的三边长，海伦公式可直接求出三角形面积，而避免了作辅助线、列方程等过程，运用起来非常简捷。