三角形面积之海伦公式推导-建议收藏

三角形面积公式之海伦公式是一个常用的公式,本文将进行手动推动,帮助学生加深理解.

问题: 已知:在三角形ABC当中,角A,B,C 对应的边分别是a,b,c, 记P=1/2(a+b+c),S为三角形的面积

则: 证明 S=

证明过程:

如上图: AD为三角形BC边上的高,设为h,根据三角形面积公式:S=1/2a.h

下面我们来求h, 在三角形ABD和三角形ADC中,根据勾股定理

c^2=BD^2+h^2

b^2=CD^2+h^2

BD+CD=a

根据上面三个等式, 我们可以求出 h

c^2-b^2=BD^2-CD^2=(BD+CD)(BD-CD) =a.(BD-CD)

所以: BD-CD= c^2-b^2/ a 在与 BD+CD=a 联立 得到 BD=1/2(c^2-b^2/a+a)=1/2 (c^2-b^2+a^2)/a

又因为h^2+BD^2=c^2 所以

h^2=c^2-BD^2=c^2-(1/(2a)^2.(c^2-b^2+a^2))^2=

=

=

=

令P=1/2(a+b+c) 则

a+c-b= 2P-2b

b+a-c= 2P-2c

b+c-a= 2P-2a

代入以上等式得到:

h^2=2P.(2P-b)(2P-c)(2P-2a)/4a^2=16.P.(P-a)(P-b)(P-c)/4a^2

因为P-a>0 P-b>0,P-c>0

=

所以三角形面积S=1/2a.h 即

得正

二:总结归纳

1.海伦公式可以用于解析几何,一般几何,只要知道三边长就可以求三角形面积

2.在推理的过程中,主要涉及到几个平方差的转换,注意变形.